9. Найдите наименьшее значение функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 5 \), на отрезке [-1,4].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{3}{2} \cdot 2x = x^2 - 3x \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( x^2 - 3x = 0 \) \( x(x-3) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).
3. Обе критические точки \( x = 0 \) и \( x = 3 \) принадлежат отрезку [-1,4].
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
   • При \( x = -1 \): \( y = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 + 5 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 5 = \frac{-2 - 9 + 30}{6} = \frac{19}{6} \).
   • При \( x = 0 \): \( y = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 5 = 5 \).
   • При \( x = 3 \): \( y = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 + 5 = \frac{27}{3} - \frac{3}{2} \cdot 9 + 5 = 9 - \frac{27}{2} + 5 = 14 - 13.5 = 0.5 = \frac{1}{2} \).
   • При \( x = 4 \): \( y = \frac{1}{3}(4)^3 - \frac{3}{2}(4)^2 + 5 = \frac{64}{3} - \frac{3}{2} \cdot 16 + 5 = \frac{64}{3} - 24 + 5 = \frac{64}{3} - 19 = \frac{64 - 57}{3} = \frac{7}{3} \).
5. Сравним полученные значения: \( \frac{19}{6} \approx 3.17 \), \( 5 \), \( \frac{1}{2} = 0.5 \), \( \frac{7}{3} \approx 2.33 \).
6. Наименьшее значение равно \( \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \).