19. Найдите наименьшее значение функции \( y = 2x^3 - 6x^2 + 3 \), на отрезке [-1,1].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = 2 \cdot 3x^2 - 6 \cdot 2x = 6x^2 - 12x \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( 6x^2 - 12x = 0 \) \( 6x(x - 2) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
3. Из критических точек на отрезок [-1,1] попадает только \( x = 0 \).
4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   • При \( x = -1 \): \( y = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 + 3 = 2(-1) - 6(1) + 3 = -2 - 6 + 3 = -5 \).
   • При \( x = 0 \): \( y = 2(0)^3 - 6(0)^2 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 \).
   • При \( x = 1 \): \( y = 2(1)^3 - 6(1)^2 + 3 = 2 - 6 + 3 = -1 \).
5. Сравним полученные значения: -5, 3, -1.
6. Наименьшее значение равно -5.

Ответ: -5.