15. Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна \(\sqrt{3}\), а острый угол равен 60°.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы ромба пополам.

Рассмотрим треугольник, образованный стороной ромба и половинками диагоналей. Острый угол ромба равен 60°, значит, половина этого угла равна 30°.

Пусть \( d_1 \) — большая диагональ, \( d_2 \) — меньшая диагональ.

В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза равна \( \sqrt{3} \) (сторона ромба), один из катетов равен \( \frac{d_1}{2} \), а другой \( \frac{d_2}{2} \). Углы этого треугольника равны 90°, 30° и 60°.

Большая диагональ лежит напротив угла 60°.

\( \frac{d_1}{2} = \sqrt{3} \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \).

\( d_1 = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \).

Меньшая диагональ лежит напротив угла 30°.

\( \frac{d_2}{2} = \sqrt{3} \sin 30^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( d_2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \).

Большая диагональ равна 3.

Ответ: 3.