14. Докажите тождество: \( \frac{\sin x + \text{tg}x}{1 + \cos x} = \text{tg}x \).

Решение:

Преобразуем левую часть тождества, заменив \( \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} \).

\[ \frac{\sin x + \text{tg}x}{1 + \cos x} = \frac{\sin x + \frac{\sin x}{\cos x}}{1 + \cos x} \]

Приведём числитель к общему знаменателю:

\[ = \frac{\frac{\sin x \cos x + \sin x}{\cos x}}{1 + \cos x} = \frac{\sin x (\cos x + 1)}{\cos x (1 + \cos x)} \]

Сократим \( \cos x + 1 \) (при условии \( \cos x
e -1 \), что не совпадает с областью определения \( \text{tg}x \) и \( \cos x
e 0 \)):

\[ = \frac{\sin x}{\cos x} = \text{tg}x \]

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.