20. Решите уравнение: log₆(2x² - x) = 1 - log₆ 2.

Решение:

1. Перенесем \( \log_6 2 \) в левую часть: \( \log_6(2x^2 - x) + \log_6 2 = 1 \).
2. Используем свойство логарифма \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \): \( \log_6(2(2x^2 - x)) = 1 \).
3. \( \log_6(4x^2 - 2x) = 1 \).
4. Переведем логарифмическое уравнение в показательную форму: \( 4x^2 - 2x = 6^1 \).
5. \( 4x^2 - 2x = 6 \).
6. \( 4x^2 - 2x - 6 = 0 \).
7. Разделим на 2: \( 2x^2 - x - 3 = 0 \).
8. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \).
9. \( \sqrt{D} = 5 \).
10. Найдём корни: \( x_1 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \). \( x_2 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \).
11. Проверим область допустимых значений (ОДЗ): \( 2x^2 - x > 0 \).
12. Для \( x = \frac{3}{2} \): \( 2(\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{9}{4} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3 > 0 \). Этот корень подходит.
13. Для \( x = -1 \): \( 2(-1)^2 - (-1) = 2(1) + 1 = 3 > 0 \). Этот корень подходит.

Ответ: \( x = -1, x = \frac{3}{2} \).