4. Докажите тождество: 6sin²x + 5cos²x = sin²x + 5.

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \). Из него следует, что \( \cos^2x = 1 - \sin^2x \).

Преобразуем левую часть тождества:

\[ 6\sin^2x + 5\cos^2x = 6\sin^2x + 5(1 - \sin^2x) \]\[ = 6\sin^2x + 5 - 5\sin^2x \]\[ = (6\sin^2x - 5\sin^2x) + 5 \]\[ = \sin^2x + 5 \]

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.