10. Решите уравнение: log₃(9x - 72) = x.

Решение:

1. Перепишем уравнение в показательной форме: \( 9x - 72 = 3^x \).
2. Приведём уравнение к виду \( 3^x - 9x + 72 = 0 \).
3. Попробуем найти целые корни методом подбора.
4. Проверим \( x = 1 \): \( 3^1 - 9(1) + 72 = 3 - 9 + 72 = 66 \(\neq\) 0 \).
5. Проверим \( x = 2 \): \( 3^2 - 9(2) + 72 = 9 - 18 + 72 = 63 \(\neq\) 0 \).
6. Проверим \( x = 3 \): \( 3^3 - 9(3) + 72 = 27 - 27 + 72 = 72 \(\neq\) 0 \).
7. Проверим \( x = 4 \): \( 3^4 - 9(4) + 72 = 81 - 36 + 72 = 117 \(\neq\) 0 \).
8. Проверим \( x = 5 \): \( 3^5 - 9(5) + 72 = 243 - 45 + 72 = 270 \(\neq\) 0 \).
9. Проверим \( x = 6 \): \( 3^6 - 9(6) + 72 = 729 - 54 + 72 = 747 \(\neq\) 0 \).
10. Рассмотрим функцию \( f(x) = 3^x - 9x + 72 \). Её производная \( f'(x) = 3^x \ln 3 - 9 \).
11. Приравняем производную к нулю: \( 3^x \ln 3 = 9 \) \( 3^x = \frac{9}{\ln 3} \) \( x = \log_3(\frac{9}{\ln 3}) = \log_3 9 - \log_3(\ln 3) = 2 - \log_3(\ln 3) \). \( \ln 3 \approx 1.0986 \). \( \log_3(1.0986) \approx 0.09 \). \( x \approx 2 - 0.09 = 1.91 \).
12. В точке \( x \approx 1.91 \) функция имеет минимум. Значение \( f(1.91) = 3^{1.91} - 9(1.91) + 72 \approx 8.3 - 17.2 + 72 = 63.1 > 0 \).
13. Так как минимальное значение функции положительно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.