24. Найдите точку максимума функции $$y = 2x^3 - 24x$$.

Решение:

1. Чтобы найти точку максимума, найдём первую производную функции: $$y' = (2x^3 - 24x)' = 6x^2 - 24$$.
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$6x^2 - 24 = 0$$.
3. Разделим на 6: $$x^2 - 4 = 0$$.
4. Решим квадратное уравнение: $$x^2 = 4$$.
5. Отсюда получаем две критические точки: $$x_1 = 2$$ и $$x_2 = -2$$.
6. Определим знак производной на интервалах.
7. Для $$x < -2$$, например $$x = -3$$: $$y' = 6(-3)^2 - 24 = 6(9) - 24 = 54 - 24 = 30 > 0$$ (функция возрастает).
8. Для $$-2 < x < 2$$, например $$x = 0$$: $$y' = 6(0)^2 - 24 = -24 < 0$$ (функция убывает).
9. Для $$x > 2$$, например $$x = 3$$: $$y' = 6(3)^2 - 24 = 6(9) - 24 = 54 - 24 = 30 > 0$$ (функция возрастает).
10. Точка $$x = -2$$ является точкой максимума (функция меняет возрастание на убывание).
11. Точка $$x = 2$$ является точкой минимума (функция меняет убывание на возрастание).
12. Найдем значение функции в точке максимума: $$y(-2) = 2(-2)^3 - 24(-2) = 2(-8) + 48 = -16 + 48 = 32$$.

Ответ: Точка максимума имеет координаты $$(-2, 32)$$.