13. Вычислить: $$\frac{21}{3\log_5 7} + \frac{6}{7\log_5 3}$$

Решение:

1. Используем свойство логарифма: $$k \log_a b = \log_a b^k$$.
2. Преобразуем знаменатели: $$3\log_5 7 = \log_5 7^3$$ и $$7\log_5 3 = \log_5 3^7$$.
3. Исходное выражение: $$\frac{21}{\log_5 7^3} + \frac{6}{\log_5 3^7}$$.
4. Используем свойство логарифма: $$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$$.
5. Тогда: $$\frac{21}{\log_5 7^3} = 21 \log_{7^3} 5$$ и $$\frac{6}{\log_5 3^7} = 6 \log_{3^7} 5$$.
6. Это не упрощает вычисление. Используем другое свойство: $$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$.
7. Тогда: $$\frac{21}{3 \log_5 7} = \frac{7}{\log_5 7} = 7 \log_7 5$$.
8. И $$\frac{6}{7 \log_5 3} = \frac{6}{7} \frac{1}{\log_5 3} = \frac{6}{7} \log_3 5$$.
9. Исходное выражение: $$7\log_7 5 + \frac{6}{7}\log_3 5$$.
10. Возможно, в условии опечатка. Если бы было: $$\frac{21}{\log_7 5} + \frac{6}{\log_3 5} = 21 \log_5 7 + 6 \log_5 3$$.
11. Если предположить, что нужно упростить: $$\frac{21}{3\log_5 7} + \frac{6}{7\log_3 5}$$.
12. Используем свойство $$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$$.
13. $$\frac{21}{3\frac{\ln 7}{\ln 5}} + \frac{6}{7\frac{\ln 3}{\ln 5}} = \frac{7 \ln 5}{\ln 7} + \frac{6 \ln 5}{7 \ln 3} = 7 \log_7 5 + \frac{6}{7} \log_3 5$$.
14. Без дополнительных данных или уточнений, дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $$7\log_7 5 + \frac{6}{7}\log_3 5$$.