ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ. Найдите точки экстремума функции: y = 12x - x³

Решение:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 12x - x^3 \) необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю.

1. Найдем производную функции: \( y' = (12x - x^3)' = 12 - 3x^2 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 12 - 3x^2 = 0 \).
3. Решим полученное уравнение: \( 3x^2 = 12 \) \( x^2 = 4 \).
4. Извлечем квадратный корень: \( x = ± 2 \).
5. Точки экстремума: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 2 \).
6. Чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом, можно исследовать знак производной или найти вторую производную.
7. Найдем вторую производную: \( y'' = (12 - 3x^2)' = -6x \).
8. Проверим вторую производную в точках:
• При \( x = -2 \): \( y''(-2) = -6(-2) = 12 \). Так как \( y'' > 0 \), то в точке \( x = -2 \) — минимум.
• При \( x = 2 \): \( y''(2) = -6(2) = -12 \). Так как \( y'' < 0 \), то в точке \( x = 2 \) — максимум.

Ответ: Точки экстремума: \( x = -2 \) (минимум) и \( x = 2 \) (максимум).