Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна 6 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°.

Решение:

Пусть основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат со стороной \( a \). Высота параллелепипеда \( h = 6 \) см. Диагональ параллелепипеда \( d \) образует с плоскостью основания угол \( \alpha = 45^{\circ} \).

Диагональ основания \( d_{осн} \) квадрата равна \( a\sqrt{2} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой параллелепипеда, диагональю основания и диагональю параллелепипеда. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания – это угол между диагональю параллелепипеда и диагональю основания. Пусть этот угол равен \( \alpha \).

В этом прямоугольном треугольнике:

• Катет, прилежащий к углу \( \alpha \), – диагональ основания \( d_{осн} \).
• Катет, противолежащий углу \( \alpha \), – высота параллелепипеда \( h \).

По определению тангенса:

\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{h}{d_{осн}} \]

Подставим известные значения:

\[ \operatorname{tg} 45^{\circ} = \frac{6}{a\sqrt{2}} \]

Поскольку \( \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1 \), получаем:

\[ 1 = \frac{6}{a\sqrt{2}} \]\[ a\sqrt{2} = 6 \]\[ a = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \]

Теперь найдем объем параллелепипеда. Объем равен произведению площади основания на высоту.

Площадь основания квадрата \( S_{осн} = a^2 \):

\[ S_{осн} = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \] \( \text{см}^2 \).

Объем \( V = S_{осн} \cdot h \):

\[ V = 18 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 108 \] \( \text{см}^3 \).

Ответ: Объем параллелепипеда равен 108 см³.