Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x³, a=1, b=2, y=0

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью абсцисс \( y = 0 \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле определённого интеграла:

\( S = \int_a^b |f(x)| dx \)

В данном случае \( f(x) = x^3 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \). На отрезке \( [1, 2] \) функция \( x^3 \) положительна, поэтому \( |x^3| = x^3 \).

1. Запишем интеграл для вычисления площади:
2. \( S = \int_1^2 x^3 dx \)
3. Вычислим неопределённый интеграл от \( x^3 \):
4. \( \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \)
5. Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования:
6. \( S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_1^2 \)
7. \( S = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} \)
8. \( S = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \)
9. \( S = 4 - 0.25 = 3.75 \)

Ответ: 3.75.