Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x³, a=1, b=2, y=0

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = x^3 \), осью Ox (\( y = 0 \)) и вертикальными прямыми \( x = 1 \) и \( x = 2 \), находится с помощью определенного интеграла.

1. Формула площади: \( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \).
2. В данном случае \( f(x) = x^3 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \).
3. Вычисляем интеграл: \[ S = \int_{1}^{2} x^3 dx \]
4. Находим первообразную для \( x^3 \): \( F(x) = \frac{x^4}{4} \).
5. Вычисляем значение первообразной на границах интегрирования: \[ S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} \]

Ответ: \( \frac{15}{4} \).