8 Вычислить: cos α, если sin α = -12/13, α ∈ (3π/2; 2π)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и информацией о расположении угла \( \alpha \) для определения знака косинуса.

1. Выразим \( \cos^2 \alpha \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
2. Подставим значение \( \sin \alpha \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} \).
3. Приведем к общему знаменателю: \( \cos^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \).
4. Найдем \( \cos \alpha \): \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13} \).
5. Угол \( \alpha \) принадлежит четвертому квадранту (от \( 3\pi/2 \) до \( 2\pi \)), где косинус положителен.
6. Следовательно, \( \cos \alpha = \frac{5}{13} \).

Ответ: \( \frac{5}{13} \).