7. Тип 16 № 1336 Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольни- ка АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Решение:

Пусть BH и CK — высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC соответственно. \( BH \perp AC \), \( CK \perp AB \). Точка пересечения высот — M.

Рассмотрим четырехугольник AMKB. Сумма углов четырехугольника равна 360°.

\( \angle AMK + \angle MKB + \angle KBA + \angle BAM = 360° \)

\( \angle AMK = 180° - \angle BKC = 180° - 90° = 90° \)

\( \angle AKB = 180° - \angle BHA = 180° - 90° = 90° \)

\( \angle AMK = 180° - \angle BAC \)

Рассмотрим треугольник BMC. Угол BMC и угол AMK — вертикальные, значит, \( \angle BMC = \angle AMK = 140° \). Это неверно, потому что M - точка пересечения высот, а не углов. M - точка пересечения высот BH и CK.

Рассмотрим четырехугольник BMDC. \( \angle BDC = 90° \) и \( \angle BHC = 90° \). Значит, точки B, C, D, H лежат на окружности с диаметром BC.

В четырехугольнике BDMH (где D - основание высоты на AC, H - основание высоты на AB), \( \angle BDM = 90° \) и \( \angle BHM = 90° \). Следовательно, \( \angle BDH + \angle BMH = 180° \).

Угол BMC и угол AMK — вертикальные. Угол AMB и угол CMK — вертикальные.

Рассмотрим четырехугольник ADMH. \( \angle ADM = 90° \) и \( \angle AHM = 90° \). Следовательно, \( \angle DAH + \angle DMH = 180° \) и \( \angle DAH = \angle BAC \). \( \angle DMH = 180° - \angle BAC \).

Угол BMC и угол DMH — вертикальные, значит \( \angle BMC = \angle DMH = 180° - \angle BAC \).

Дано \( \angle BMC = 140° \). Значит, \( 140° = 180° - \angle BAC \). Отсюда \( \angle BAC = 180° - 140° = 40° \).

Треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC. Значит, \( \angle ABC = \angle ACB \).

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.

\( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \)

\( 40° + 2 \angle ABC = 180° \)

\( 2 \angle ABC = 180° - 40° = 140° \)

\( \angle ABC = \frac{140°}{2} = 70° \)

\( \angle ACB = 70° \)

Ответ: Углы треугольника равны 40°, 70°, 70°.