11. Тип 16 № 8107 Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ДАВС = 36°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть внешний угол при вершине B равен \( \angle CBE \). Тогда \( \angle CBE = 180° - \angle ABC \).

Биссектриса внешнего угла при вершине B делит его пополам. Пусть эта биссектриса — BF.

\( \angle CBF = \frac{1}{2} \angle CBE = \frac{1}{2} (180° - \angle ABC) = 90° - \frac{1}{2} \angle ABC \).

По условию, биссектриса BF параллельна стороне AC.

\( BF \parallel AC \).

Угол CBF и угол ABC — внутренние односторонние углы при параллельных прямых BF и AC и секущей BC. Их сумма равна 180°.

\( \angle CBF + \angle ABC = 180° \). Это неверно.

Угол CBF и угол BAC — накрест лежащие углы при параллельных прямых BF и AC и секущей AB.

\( \angle CBF = \angle BAC \).

Угол CBE и угол BAC — соответственные углы при параллельных прямых BF и AC и секущей BC. Это тоже неверно.

Рассмотрим углы:

Внешний угол при вершине B равен \( 180° - \angle ABC \).

Биссектриса этого угла делит его пополам. Пусть биссектриса — BL.

\( \angle ABL = \angle LBC = \frac{180° - \angle ABC}{2} = 90° - \frac{\angle ABC}{2} \).

По условию, \( BL \parallel AC \).

Рассмотрим параллельные прямые BL и AC и секущую BC. Углы \( \angle LBC \) и \( \angle ACB \) — накрест лежащие. Значит, \( \angle ACB = \angle LBC = 90° - \frac{\angle ABC}{2} \).

Рассмотрим параллельные прямые BL и AC и секущую AB. Углы \( \angle ABL \) и \( \angle BAC \) — накрест лежащие. Значит, \( \angle BAC = \angle ABL = 90° - \frac{\angle ABC}{2} \).

В треугольнике ABC: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \).

\( (90° - \frac{\angle ABC}{2}) + \angle ABC + (90° - \frac{\angle ABC}{2}) = 180° \)

\( 180° - \angle ABC + \angle ABC = 180° \)

\( 180° = 180° \)

Это равенство верно для любого треугольника, где биссектриса внешнего угла параллельна противоположной стороне. Это означает, что треугольник ABC равнобедренный с \( AB = BC \).

Условие \( \angle ABC = 36° \) дано в условии, но оно не соответствует дальнейшим рассуждениям. Похоже, что \( \angle BAC = 36° \) или \( \angle ABC = 36° \) - это другая задача.

Дано: биссектриса внешнего угла при B параллельна AC. Это значит, что \( AB = BC \).

Если \( \angle ABC = 36° \), то \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 36°}{2} = \frac{144°}{2} = 72° \). Тогда внешний угол при B равен \( 180° - 36° = 144° \). Биссектриса внешнего угла делит его пополам: \( 144° / 2 = 72° \). Угол между биссектрисой и стороной BC равен 72°. Угол между биссектрисой и стороной AB также равен 72°.

Если \( \angle BAC = 36° \) (что возможно, если \( \angle ABC \) было бы другим), то \( \angle ABC \) было бы 180 - 2 * 36 = 180 - 72 = 108. Тогда внешний угол при B = 180 - 108 = 72. Биссектриса делит его пополам, т.е. 36. Тогда \( \angle BAC = 36 \). Это соответствует условию.

Примем \( \angle ABC = x \). Тогда \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180 - x}{2} \).

Внешний угол при B равен \( 180 - x \). Его биссектриса образует угол \( \frac{180 - x}{2} = 90 - \frac{x}{2} \) со стороной BC. Этот угол равен \( \angle BAC \) (как накрест лежащие при параллельных).

\( \angle BAC = 90 - \frac{\angle ABC}{2} \).

\( \angle BAC = \frac{180 - \angle ABC}{2} \).

В условии задачи дано \( \angle ABC = 36° \). Значит, \( \angle BAC = 90 - \frac{36°}{2} = 90° - 18° = 72° \).

Ответ: 72°.