3. Логарифмические уравнения и способы их решения.

3. Логарифмические уравнения

Определение: Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма.

Основные способы решения:

1. Приведение к виду \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \):
   • Необходимо убедиться, что аргументы логарифмов положительны: \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).
   • Решить уравнение \( f(x) = g(x) \).
   • Проверить, удовлетворяют ли найденные корни условиям \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).
2. Использование определения логарифма: Если уравнение имеет вид \( \log_a f(x) = c \), то \( f(x) = a^c \).
3. Замена переменной: Удобно использовать, если в уравнении есть одинаковые логарифмы или их степени.
4. Графический способ: Построить графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, и найти их точки пересечения.

Пример: Решить уравнение \( \log_2 (x+1) = 3 \).

Решение:

Используем определение логарифма:

\( x+1 = 2^3 \)

\( x+1 = 8 \)

\( x = 7 \)

Проверка: \( x+1 = 7+1 = 8 > 0 \). Решение подходит.

Ответ: x = 7.