2. Логарифмическая функция. Её свойства и график.

2. Логарифмическая функция

Определение: Логарифмическая функция — это функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) — заданное число, \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \).

Свойства логарифмической функции:

• Область определения: \( x \in (0; +\infty) \)
• Область значений: \( y \in (-\infty; +\infty) \)
• Пересечение с осями: График пересекает ось абсцисс в точке \( (1; 0) \) (так как \( \log_a 1 = 0 \)). С осью ординат пересечения нет.
• Монотонность:
• Если \( a > 1 \), функция возрастает.
• Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает.
• Знак функции:
• Если \( a > 1 \) и \( x > 1 \), то \( y > 0 \). Если \( a > 1 \) и \( 0 < x < 1 \), то \( y < 0 \).
• Если \( 0 < a < 1 \) и \( x > 1 \), то \( y < 0 \). Если \( 0 < a < 1 \) и \( 0 < x < 1 \), то \( y > 0 \).

График логарифмической функции:

График проходит через точку \( (1; 0) \). При \( a > 1 \) график стремится к \( -\infty \) при \( x \to 0^+ \) и возрастает. При \( 0 < a < 1 \) график стремится к \( +\infty \) при \( x \to 0^+ \) и убывает.