log⅓ 3x+1 > -1 x-2

$$log_{\frac{1}{3}} \frac{3x+1}{x-2} > -1$$

ОДЗ: $$\frac{3x+1}{x-2} > 0$$ $$x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (2; +\infty)$$

Теперь решим основное неравенство:

$$log_{\frac{1}{3}} \frac{3x+1}{x-2} > log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-1}$$ $$log_{\frac{1}{3}} \frac{3x+1}{x-2} > log_{\frac{1}{3}} 3$$

Т.к. основание $$\frac{1}{3} < 1$$, знак неравенства меняется:

$$\frac{3x+1}{x-2} < 3$$ $$\frac{3x+1}{x-2} - 3 < 0$$ $$\frac{3x+1 - 3x + 6}{x-2} < 0$$ $$\frac{7}{x-2} < 0$$ $$x-2 < 0$$ $$x < 2$$

Учитывая ОДЗ $$(-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (2; +\infty)$$, получаем решение:

$$x < -\frac{1}{3}$$

Ответ: $$(-\infty; -\frac{1}{3})$$