9. Найдите tga, если sina == \(\frac{1}{5}\) и 0<a<\(\frac{\pi}{2}\).

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).
2. Найдём \( \cos\alpha \):
• \( (\frac{1}{5})^2 + \cos^2\alpha = 1 \)
• \( \frac{1}{25} + \cos^2\alpha = 1 \)
• \( \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \)
• \( \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{24}{25}} = \pm\frac{\sqrt{24}}{5} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5} \).
3. Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) (угол в первой четверти), то \( \cos\alpha > 0 \). Следовательно, \( \cos\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5} \).
4. Найдём \( \mathrm{tg}\alpha \) по формуле \( \mathrm{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \):
• \( \mathrm{tg}\alpha = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} \)
• Рационализируем знаменатель: \( \mathrm{tg}\alpha = \frac{1}{2\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12} \).

Ответ: \( \mathrm{tg}\alpha = \frac{\sqrt{6}}{12} \).