7. Решите уравнение 2sin\(\frac{x}{4}\) + \(\sqrt{2}\) = 0.

Решение:

1. Перенесём \(\sqrt{2}\) в правую часть: \( 2\sin\frac{x}{4} = -\sqrt{2} \).
2. Разделим обе части на 2: \( \sin\frac{x}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
3. Найдём значения \( \frac{x}{4} \). Для синуса, равного \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\), решениями являются \( \frac{x}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \) и \( \frac{x}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
4. Умножим обе части на 4:
• \( x = 4\left(\frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right) = 5\pi + 8\pi k \)
• \( x = 4\left(\frac{7\pi}{4} + 2\pi k\right) = 7\pi + 8\pi k \)

Ответ: \( x = 5\pi + 8\pi k \) или \( x = 7\pi + 8\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).