5. Упростите выражение \(\frac{\cos 24° + \cos 36°}{\sin 24° + \sin 36°}\).

Решение:

Используем формулы суммы косинусов и синусов:

\( \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \)

\( \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \)

В нашем случае \( \alpha = 24° \) и \( \beta = 36° \).

\( \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{24°+36°}{2} = \frac{60°}{2} = 30° \)

\( \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{24°-36°}{2} = \frac{-12°}{2} = -6° \)

Подставляем в выражение:

\(\frac{2\cos 30°\cos(-6°)}{2\sin 30°\cos(-6°)}\)

Сокращаем \( 2\cos(-6°) \):

\(\frac{\cos 30°}{\sin 30°} = \mathrm{ctg} 30°\)

Значение \( \mathrm{ctg} 30° = \sqrt{3} \).

Ответ: \( \sqrt{3} \).