11. Высота конуса равна 12, а длина образующей 13. а) Чему равна площадь осевого сечения конуса? б) Чему равна площадь полной поверхности конуса? в) Чему равна площадь боковой поверхности конуса?

Решение:

Дано: высота конуса \( h = 12 \), образующая \( l = 13 \).

Сначала найдём радиус основания \( r \) по теореме Пифагора: \( r^2 + h^2 = l^2 \).

\( r^2 + 12^2 = 13^2 \)

\( r^2 + 144 = 169 \)

\( r^2 = 169 - 144 = 25 \)

\( r = \sqrt{25} = 5 \) см.

а) Площадь осевого сечения конуса:

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием \( 2r \) и высотой \( h \).

\( S_{ос.сеч.} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h \)

\( S_{ос.сеч.} = 5 \cdot 12 = 60 \) см².

б) Площадь полной поверхности конуса:

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \( S_{полн.} = S_{осн.} + S_{бок.} \).

Площадь основания: \( S_{осн.} = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \) см².

Площадь боковой поверхности: \( S_{бок.} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi \) см².

\( S_{полн.} = 25\pi + 65\pi = 90\pi \) см².

в) Площадь боковой поверхности конуса:

\( S_{бок.} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi \) см².

Ответ: а) \( 60 \) см²; б) \( 90\pi \) см²; в) \( 65\pi \) см².