4. Упростите выражение cos8x +2 sin²4x.

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha \). Отсюда \( 2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha) \).

В нашем случае \( \alpha = 4x \), тогда \( 2\alpha = 8x \).

Подставляем: \( \cos(8x) + 2\sin^2(4x) = \cos(8x) + (1 - \cos(8x)) \).

Выполняем вычитание: \( \cos(8x) + 1 - \cos(8x) = 1 \).

Ответ: \( 1 \).