9. Найди сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел Z₁=4-2i, Z₂=-3-i.

Решение:

Даны комплексные числа \( z_1 = 4 - 2i \) и \( z_2 = -3 - i \).

1. Сумма:
2. \( z_1 + z_2 = (4 - 2i) + (-3 - i) = 4 - 3 - 2i - i = 1 - 3i \)
3. Разность:
4. \( z_1 - z_2 = (4 - 2i) - (-3 - i) = 4 - 2i + 3 + i = 7 - i \)
5. Произведение:
6. \( z_1 \cdot z_2 = (4 - 2i)(-3 - i) = 4(-3) + 4(-i) - 2i(-3) - 2i(-i) \)
7. \( = -12 - 4i + 6i + 2i^2 \)
8. Так как \( i^2 = -1 \), то \( 2i^2 = -2 \).
9. \( = -12 + 2i - 2 = -14 + 2i \)
10. Частное:
11. \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{4 - 2i}{-3 - i} \)
12. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число к знаменателю ( \( -3 + i \) ):
13. \( \frac{(4 - 2i)(-3 + i)}{(-3 - i)(-3 + i)} = \frac{4(-3) + 4i - 2i(-3) - 2i(i)}{(-3)^2 - i^2} = \frac{-12 + 4i + 6i - 2i^2}{9 - (-1)} = \frac{-12 + 10i + 2}{10} \)
14. \( = \frac{-10 + 10i}{10} = -1 + i \)

Ответ:

• Сумма: \( 1 - 3i \)
• Разность: \( 7 - i \)
• Произведение: \( -14 + 2i \)
• Частное: \( -1 + i \)