12. Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 16 см и высотой 4 см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения и площадь боковой поверхности.

Решение:

При вращении равнобочной трапеции вокруг меньшего основания образуется тело, состоящее из цилиндра и двух конусов, соединенных своими основаниями.

1. Объем тела вращения:

Высота цилиндра равна меньшему основанию трапеции, \( H_{cyl} = 10 \) см.

Радиус цилиндра и конусов равен высоте трапеции, \( R = 4 \) см.

Большее основание трапеции \( b = 16 \) см. Проекция боковой стороны на большее основание равна \( \frac{b-a}{2} = \frac{16-10}{2} = 3 \) см.

Длина боковой стороны трапеции \( L \) (образующая конуса) находится по теореме Пифагора: \( L = \sqrt{R^2 + (\frac{b-a}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) см.

Объем цилиндра: \( V_{cyl} = \pi R^2 H_{cyl} = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = \pi \cdot 16 \cdot 10 = 160\pi \) см³.

Объем каждого конуса: \( V_{cone} = \frac{1}{3} \pi R^2 H_{cone} \).

Высота каждого конуса равна проекции боковой стороны на большее основание, \( H_{cone} = 3 \) см.

\( V_{cone} = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = \pi \cdot 16 = 16\pi \) см³.

Общий объем тела вращения: \( V_{total} = V_{cyl} + 2 V_{cone} = 160\pi + 2 \cdot 16\pi = 160\pi + 32\pi = 192\pi \) см³.

2. Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности состоит из площади боковой поверхности цилиндра и площадей боковых поверхностей двух конусов.

Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{cyl} = 2 \pi R H_{cyl} = 2 \pi \cdot 4 \cdot 10 = 80\pi \) см².

Площадь боковой поверхности одного конуса: \( S_{cone} = \pi R L = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi \) см².

Общая площадь боковой поверхности: \( S_{total} = S_{cyl} + 2 S_{cone} = 80\pi + 2 \cdot 20\pi = 80\pi + 40\pi = 120\pi \) см².

Ответ: Объем тела вращения \( 192\pi \) см³, площадь боковой поверхности \( 120\pi \) см².