14. Вычислите определенный интеграл: ∫₂³ (x²-4)(x²-1):(x²+x-2) dx

Решение:

Сначала упростим подынтегральную функцию.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \)

\( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \)

\( x^2 + x - 2 \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + x - 2 = 0 \). \( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1+8=9 \). \( x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \). \( x_1 = 1, x_2 = -2 \).

Значит, \( x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2) \).

Теперь подставим разложения в дробь:

\( \frac{(x^2-4)(x^2-1)}{x^2+x-2} = \frac{(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)} \)

Сократим одинаковые множители (при \( x
e 1 \) и \( x
e -2 \). В пределах интегрирования \( [2, 3] \) эти условия выполняются):

\( (x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2 \)

Теперь вычислим определенный интеграл от упрощенной функции:

\[ \int_{2}^{3} (x^2 - x - 2) dx \]

Найдем первообразную:

\[ \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x \right) \vert_{2}^{3} \]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2 \right) \]

\[ \left( \frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 6 \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right) \]

\[ \left( 9 - 4.5 - 6 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) \]

\[ \left( -1.5 \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) \]

\[ -1.5 - \frac{8}{3} + 6 \]

\[ 4.5 - \frac{8}{3} \]

\[ \frac{9}{2} - \frac{8}{3} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{9 \cdot 3}{6} - \frac{8 \cdot 2}{6} = \frac{27 - 16}{6} = \frac{11}{6} \]

Ответ: \( \frac{11}{6} \).