6. Доказать тождество cos⁴ α - sin⁴ α = cos 2α

Решение:

Начнем с левой части тождества и преобразуем ее:

\( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha \)

Используем формулу разности квадратов \( A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \), где \( A = \cos^2 \alpha \) и \( B = \sin^2 \alpha \).

\( (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \)

Известно основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \).

\( (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(1) \)

\( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \)

Теперь вспомним формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).

Таким образом, левая часть тождества равна правой части:

\( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha \)

Тождество доказано.