4. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а боковое ребро - 14 см. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Диагональ квадрата \( d \) можно найти по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \).

\( d = a\sqrt{2} \)

В нашем случае \( a = 6 \) см, значит, \( d = 6\sqrt{2} \) см.

Радиус описанной окружности около основания (половина диагонали) \( R = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \) см.

Высота пирамиды \( H \), боковое ребро \( L \) и радиус описанной окружности \( R \) связаны теоремой Пифагора: \( L^2 = H^2 + R^2 \).

\( 14^2 = H^2 + (3\sqrt{2})^2 \)

\( 196 = H^2 + 18 \)

\( H^2 = 196 - 18 \)

\( H^2 = 178 \)

\( H = \sqrt{178} \) см.

Ответ: \( \sqrt{178} \) см.