7. Найдите значения х, при которых значение производной функции f(x) = x³ + 2x² - 7x + 1 равно 0, если

Решение:

Сначала найдем производную функции \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 1 \).

\( f'(x) = (x^3)' + (2x^2)' - (7x)' + (1)' \)

\( f'(x) = 3x^2 + 4x - 7 \)

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти значения \( x \):

\( 3x^2 + 4x - 7 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 \)

Найдем корни \( x \):

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} \)

Ответ: \( x = 1 \) и \( x = -\frac{7}{3} \).