1. Решите неравенство: x²-14x15 / 10-4x < 0

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя: \( x^2 - 14x + 15 = 0 \)

\( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 196 - 60 = 136 \)

\( x_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{136}}{2} = 7 \pm \sqrt{34} \)

Найдем корень знаменателя: \( 10 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 10 \Rightarrow x = 2.5 \)

Числа \( 7 - \sqrt{34} \approx 7 - 5.83 = 1.17 \), \( 2.5 \) и \( 7 + \sqrt{34} \approx 7 + 5.83 = 12.83 \) разбивают числовую ось на интервалы.

Проверим знаки выражения на интервалах:

• При \( x < 7 - \sqrt{34} \) (например, x=0): \( \frac{+}{-} = - \)
• При \( 7 - \sqrt{34} < x < 2.5 \) (например, x=2): \( \frac{-}{-} = + \)
• При \( 2.5 < x < 7 + \sqrt{34} \) (например, x=3): \( \frac{-}{+} = - \)
• При \( x > 7 + \sqrt{34} \) (например, x=13): \( \frac{+}{+} = + \)

Неравенство \( < 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty; 7 - \sqrt{34}) \) и \( (2.5; 7 + \sqrt{34}) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; 7 - \sqrt{34}) \cup (2.5; 7 + \sqrt{34}) \).