13. Решите систему: { 5ˣ - 5ʸ = 100; 5ˣ⁻¹ + 5ʸ⁻¹ = 30 }

Решение:

Перепишем систему уравнений, используя свойства степеней:

\( 5^x - 5^y = 100 \) (1)

\( \frac{5^x}{5} + \frac{5^y}{5} = 30 \)

Умножим второе уравнение на 5:

\( 5^x + 5^y = 150 \) (2)

Теперь у нас есть система:

1. \( 5^x - 5^y = 100 \)
2. \( 5^x + 5^y = 150 \)

Сложим уравнения (1) и (2):

\( (5^x - 5^y) + (5^x + 5^y) = 100 + 150 \)

\( 2 · 5^x = 250 \)

\( 5^x = 125 \)

\( 5^x = 5^3 \)

\( x = 3 \)

Подставим \( x = 3 \) в уравнение (2):

\( 5^3 + 5^y = 150 \)

\( 125 + 5^y = 150 \)

\( 5^y = 150 - 125 \)

\( 5^y = 25 \)

\( 5^y = 5^2 \)

\( y = 2 \)

Ответ: \( x = 3, y = 2 \).