16. \(\frac{x^2+9}{x^3+27} - \frac{3x}{x^3+27}\)

Решение:

Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, вычтем числители и оставим знаменатель прежним.

• \( \frac{x^2+9}{x^3+27} - \frac{3x}{x^3+27} = \frac{x^2+9-3x}{x^3+27} = \frac{x^2-3x+9}{x^3+27} \)
• Знаменатель — сумма кубов: \( x^3+27 = (x+3)(x^2-3x+9) \).
• \( \frac{x^2-3x+9}{(x+3)(x^2-3x+9)} \)
• Сократим дробь на \( (x^2-3x+9) \), при условии \( x^2-3x+9 \neq 0 \). Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4(1)(9) = 9-36 = -27 < 0 \), поэтому \( x^2-3x+9 \) всегда положительно и не равно нулю.
• \( \frac{1}{x+3} \)

Ответ: \( \frac{1}{x+3} \).