7. В прямоугольном треугольнике ABC катет АС = 35, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 14√6. Найдите sin ∠ABC.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ AC = 35 \]
• \[ CH \perp AB \]
• \[ CH = 14\sqrt{6} \]

Найти:

• \[ \sin \angle ABC \]

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \[ \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} \]. Нам нужно найти длину гипотенузы AB.

Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \]

2. Через гипотенузу и высоту: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times CH \]

Приравняем эти выражения:

\[ \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times CH \]

\[ AC \times BC = AB \times CH \]

Также в прямоугольном треугольнике ABC, \[ CH^2 = AH \times HB \] и \[ AC^2 = AH \times AB \], \[ BC^2 = HB \times AB \].

Из \[ AC^2 = AH \times AB \] выразим \[ AH = \frac{AC^2}{AB} \].

Из \[ BC^2 = HB \times AB \] выразим \[ HB = \frac{BC^2}{AB} \].

Подставим в \[ CH^2 = AH \times HB \]:

\[ (14\sqrt{6})^2 = \frac{AC^2}{AB} \times \frac{BC^2}{AB} \]

\[ 196 \times 6 = \frac{(AC \times BC)^2}{AB^2} \]

\[ 1176 = \frac{(35 \times BC)^2}{AB^2} \]

Теперь используем теорему Пифагора: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

\[ 35^2 + BC^2 = AB^2 \]

\[ 1225 + BC^2 = AB^2 \]

Из \[ AC \times BC = AB \times CH \] выразим \[ BC = \frac{AB \times CH}{AC} = \frac{AB \times 14\sqrt{6}}{35} = \frac{2\sqrt{6}}{5} AB \].

Подставим это в уравнение Пифагора:

\[ 1225 + (\frac{2\sqrt{6}}{5} AB)^2 = AB^2 \]

\[ 1225 + \frac{4 \times 6}{25} AB^2 = AB^2 \]

\[ 1225 + \frac{24}{25} AB^2 = AB^2 \]

\[ 1225 = AB^2 - \frac{24}{25} AB^2 \]

\[ 1225 = \frac{1}{25} AB^2 \]

\[ AB^2 = 1225 \times 25 \]

\[ AB = \sqrt{1225 \times 25} = 35 \times 5 = 175 \]

Теперь найдем \[ \sin \angle ABC \]:

\[ \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{35}{175} = \frac{1}{5} \]

Ответ: sin ∠ABC = 1/5