7. Спортивная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по течению, затратив на весь путь 14 часов. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Краткое пояснение:

• Пусть собственная скорость лодки равна $$ v $$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $$ v-2 $$ км/ч, а по течению — $$ v+2 $$ км/ч. Время, затраченное на путь, равно расстоянию, деленному на скорость.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Составим уравнение, исходя из общего времени в пути:
   Время против течения + Время по течению = Общее время
   $$ \frac{45}{v-2} + \frac{45}{v+2} = 14 $$.
2. Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю $$ (v-2)(v+2) $$:
   $$ \frac{45(v+2) + 45(v-2)}{(v-2)(v+2)} = 14 $$.
3. Шаг 3: Упростим числитель:
   $$ 45v + 90 + 45v - 90 = 90v $$.
4. Шаг 4: Знаменатель равен $$ v^2 - 4 $$.
   Уравнение примет вид:
   $$ \frac{90v}{v^2-4} = 14 $$.
5. Шаг 5: Решим полученное уравнение:
   $$ 90v = 14(v^2-4) $$
   $$ 90v = 14v^2 - 56 $$.
6. Шаг 6: Перенесем все в одну сторону и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
   $$ 14v^2 - 90v - 56 = 0 $$.
7. Шаг 7: Разделим на 2 для упрощения:
   $$ 7v^2 - 45v - 28 = 0 $$.
8. Шаг 8: Найдем дискриминант:
   $$ D = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 2025 + 784 = 2809 $$.
9. Шаг 9: Найдем $$ \sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53 $$.
10. Шаг 10: Найдем корни:
    $$ v_1 = \frac{45 + 53}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7 $$.
    $$ v_2 = \frac{45 - 53}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7} $$.
11. Шаг 11: Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 7 км/ч