5. Упростить выражение и найти его значение: $$\frac{a^{-5}\cdot a^8}{a^{-2}}$$, при $$a = \frac{2}{3}$$.

Краткое пояснение:

• Для упрощения выражения используем свойства степеней: $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$ и $$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$. Затем подставим заданное значение $$ a $$.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим числитель:
   $$ a^{-5} \cdot a^8 = a^{-5+8} = a^3 $$.
2. Шаг 2: Теперь выражение выглядит так:
   $$ \frac{a^3}{a^{-2}} $$.
3. Шаг 3: Упростим дробь, используя свойство деления степеней:
   $$ a^{3 - (-2)} = a^{3+2} = a^5 $$.
4. Шаг 4: Подставим значение $$ a = \frac{2}{3} $$:
   $$ \left(\frac{2}{3}\right)^5 $$.
5. Шаг 5: Возведем дробь в пятую степень:
   $$ \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243} $$.

Ответ: $$\frac{32}{243}$$