5. Упростить выражение и найти его значение: $$\frac{a^{-9}\cdot a^2}{a^{-4}}$$, при $$a = \frac{1}{2}$$.

Краткое пояснение:

• Для упрощения выражения используем свойства степеней: $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$ и $$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$. Затем подставим заданное значение $$ a $$.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим числитель:
   $$ a^{-9} \cdot a^2 = a^{-9+2} = a^{-7} $$.
2. Шаг 2: Теперь выражение выглядит так:
   $$ \frac{a^{-7}}{a^{-4}} $$.
3. Шаг 3: Упростим дробь, используя свойство деления степеней:
   $$ a^{-7 - (-4)} = a^{-7+4} = a^{-3} $$.
4. Шаг 4: Представим $$ a^{-3} $$ как $$ \frac{1}{a^3} $$.
5. Шаг 5: Подставим значение $$ a = \frac{1}{2} $$:
   $$ \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} $$.
6. Шаг 6: Возведем дробь в куб:
   $$ \frac{1}{\frac{1^3}{2^3}} = \frac{1}{\frac{1}{8}} $$.
7. Шаг 7: Выполним деление:
   $$ 1 \div \frac{1}{8} = 1 \cdot 8 = 8 $$.

Ответ: 8