7. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние равное 15 км по течению и такое же расстояние против течения. Найди скорость...

Решение:

Так как условие задачи неполное (не указано, что именно нужно найти, например, общее время в пути или скорость течения реки), решим задачу, найдя общее время в пути.

1. Пусть \( v_к \) — собственная скорость катера, \( v_р \) — скорость течения реки.
2. По условию \( v_к = 8 \) км/ч.
3. Скорость катера по течению: \( v_{по \; теч.} = v_к + v_р = 8 + v_р \) км/ч.
4. Скорость катера против течения: \( v_{против \; теч.} = v_к - v_р = 8 - v_р \) км/ч.
5. Расстояние, пройденное по течению: \( S_{по \; теч.} = 15 \) км.
6. Время, затраченное на путь по течению: \( t_{по \; теч.} = \frac{S_{по \; теч.}}{v_{по \; теч.}} = \frac{15}{8 + v_р} \) ч.
7. Расстояние, пройденное против течения: \( S_{против \; теч.} = 15 \) км.
8. Время, затраченное на путь против течения: \( t_{против \; теч.} = \frac{S_{против \; теч.}}{v_{против \; теч.}} = \frac{15}{8 - v_р} \) ч.
9. Общее время в пути: \( T = t_{по \; теч.} + t_{против \; теч.} = \frac{15}{8 + v_р} + \frac{15}{8 - v_р} \) ч.
10. Приведём к общему знаменателю: \[ T = \frac{15(8 - v_р) + 15(8 + v_р)}{(8 + v_р)(8 - v_р)} = \frac{120 - 15v_р + 120 + 15v_р}{64 - v_р^2} = \frac{240}{64 - v_р^2} \]

Если нужно найти общее время в пути, то ответ: $$\frac{240}{64 - v_р^2}$$ часа, где $$v_р$$ — скорость течения реки.