18. Решите неравенство: \( \log_{2}(x - 1) \le \log_{2} (2x + 3) \)

Решение:

Решим неравенство, используя свойства логарифмов.

Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ), так как аргументы логарифмов должны быть положительными:

1) \( x - 1 > 0 \) \( \Rightarrow x > 1 \)

2) \( 2x + 3 > 0 \) \( \Rightarrow 2x > -3 \) \( \Rightarrow x > -\frac{3}{2} \)

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \( x > 1 \).

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), функция \( \log_2 x \) возрастает. Следовательно, мы можем приравнять аргументы:

\[ x - 1 \le 2x + 3 \]

Решим это линейное неравенство:

\[ x - 2x \le 3 + 1 \]

\[ -x \le 4 \]

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

\[ x \ge -4 \]

Теперь объединим полученное решение \( x \ge -4 \) с ОДЗ \( x > 1 \).

Пересечение этих условий даёт \( x > 1 \).

Ответ: \( x > 1 \)