15. Решите уравнение: \( \log_4 (3x + 7) = -2 \)

Решение:

Перейдём от логарифмического уравнения к показательному, используя определение логарифма: \( \log_a b = c \iff a^c = b \).

В нашем случае \( a = 4 \), \( b = 3x + 7 \), \( c = -2 \).

Получаем:

\[ 3x + 7 = 4^{-2} \]

Вычислим \( 4^{-2} \):

\[ 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ 3x + 7 = \frac{1}{16} \]

Вычтем 7 из обеих частей:

\[ 3x = \frac{1}{16} - 7 \]

\[ 3x = \frac{1}{16} - \frac{7 \cdot 16}{16} \]

\[ 3x = \frac{1 - 112}{16} \]

\[ 3x = -\frac{111}{16} \]

Разделим обе части на 3:

\[ x = -\frac{111}{16 \cdot 3} \]

\[ x = -\frac{37}{16} \]

Ответ: \( -\frac{37}{16} \)