14. Решить уравнение: \( \sqrt{1 - x} = x + 1 \)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{1 - x})^2 = (x + 1)^2 \]

\[ 1 - x = x^2 + 2x + 1 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ x^2 + 2x + x + 1 - 1 = 0 \]

\[ x^2 + 3x = 0 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(x + 3) = 0 \]

Это уравнение имеет два корня: \( x = 0 \) и \( x = -3 \).

Проверим оба корня в исходном уравнении \( \sqrt{1 - x} = x + 1 \).

Проверка для \( x = 0 \):

\[ \sqrt{1 - 0} = 0 + 1 \]

\[ \sqrt{1} = 1 \]

\[ 1 = 1 \]

Корень \( x = 0 \) подходит.

Проверка для \( x = -3 \):

\[ \sqrt{1 - (-3)} = -3 + 1 \]

\[ \sqrt{1 + 3} = -2 \]

\[ \sqrt{4} = -2 \]

\[ 2 = -2 \]

Это неверно. Корень \( x = -3 \) не подходит.

Ответ: 0