259. Вычислите наиболее простым способом: а) 45³ +55³ 100 – 45.55;

a) $$ \frac{45^3 + 55^3}{100} - 45 \cdot 55 $$

Разложим числитель дроби, используя формулу суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$. В нашем случае, $$a = 45$$ и $$b = 55$$.

Тогда:

$$45^3 + 55^3 = (45 + 55)(45^2 - 45 \cdot 55 + 55^2) = 100(45^2 - 45 \cdot 55 + 55^2)$$.

Теперь исходное выражение можно записать как:

$$ \frac{100(45^2 - 45 \cdot 55 + 55^2)}{100} - 45 \cdot 55 = 45^2 - 45 \cdot 55 + 55^2 - 45 \cdot 55 = 45^2 - 2 \cdot 45 \cdot 55 + 55^2 $$.

Заметим, что это выражение является квадратом разности: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$. В нашем случае, $$a = 45$$ и $$b = 55$$.

$$ (45 - 55)^2 = (-10)^2 = 100 $$.

Ответ: 100