10. В треугольнике АВС угол C равен 90°, \frac{sin A}{3} = \frac{20}{AC} = \sqrt{391},,. Найдитс АВ.

В треугольнике ABC: ∠C = 90°, $$sin A = \frac{3}{20} \cdot AC = \sqrt{391}$$.

Найти: AB

Решение:

sin A = BC / AB

cos A = AC / AB

sin² A + cos² A = 1

(BC / AB)² + (AC / AB)² = 1

$$sin A = \frac{3}{20}AC = \sqrt{391}$$

AC = 20/3 * √391

sin A = BC / AB, BC = AB * sin A

AC² + BC² = AB²

(20/3 * √391)² + (AB * sin A)² = AB²

AB² * (1 - sin²A) = (20/3 * √391)²

AB² * cos²A = (20/3 * √391)²

AB * cosA = 20/3 * √391

AC = AB * cosA

AB = AC / cosA

cos²A = 1 - sin²A

$$cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{391}}{AC})^2} = \sqrt{1 - \frac{391}{AC^2}}$$.

$$AC = \frac{20}{3} \sqrt{391}$$

$$AB = \frac{\frac{20}{3} \sqrt{391}}{\sqrt{1 - \frac{391}{(\frac{20}{3} \sqrt{391})^2}}} = \frac{\frac{20}{3} \sqrt{391}}{\sqrt{1 - \frac{391}{\frac{400}{9} \cdot 391}}} = \frac{\frac{20}{3} \sqrt{391}}{\sqrt{1 - \frac{9}{400}}} = \frac{\frac{20}{3} \sqrt{391}}{\sqrt{\frac{391}{400}}} = \frac{\frac{20}{3} \sqrt{391}}{\frac{\sqrt{391}}{20}} = \frac{20}{3} \cdot \frac{20}{1} = \frac{400}{3} = 133 \frac{1}{3}$$.

Ответ: $$133 \frac{1}{3}$$