500 В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса г. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, г= 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

а) В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r = 4 см, гипотенуза равна 26 см. Найдем периметр.

Пусть катеты a и b, гипотенуза c. Тогда площадь $$S = \frac{1}{2}ab$$, а радиус вписанной окружности $$r = \frac{a+b-c}{2}$$. Отсюда $$a + b = 2r + c = 2 \cdot 4 + 26 = 8 + 26 = 34 \text{ см}$$

Периметр: $$P = a + b + c = 34 + 26 = 60 \text{ см}$$

б) Точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см. Значит, гипотенуза равна 5 + 12 = 17 см. Также, по свойству касательных, катеты выражаются как: $$a = 5 + r$$ и $$b = 12 + r$$, где r - радиус вписанной окружности.

По теореме Пифагора: $$(5 + r)^2 + (12 + r)^2 = 17^2$$ $$25 + 10r + r^2 + 144 + 24r + r^2 = 289$$ $$2r^2 + 34r + 169 = 289$$ $$2r^2 + 34r - 120 = 0$$ $$r^2 + 17r - 60 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$r = \frac{-17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60)}}{2} = \frac{-17 \pm \sqrt{289 + 240}}{2} = \frac{-17 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-17 \pm 23}{2}$$

Берем положительный корень: $$r = \frac{-17 + 23}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$$

Тогда $$a = 5 + 3 = 8 \text{ см}$$ и $$b = 12 + 3 = 15 \text{ см}$$

Периметр: $$P = 8 + 15 + 17 = 40 \text{ см}$$

Ответ: a) 60 см; б) 40 см