Решение задачи 499

а) Дано: треугольник со сторонами $$a = 24 ext{ см}$$, $$b = 25 ext{ см}$$, $$c = 7 ext{ см}$$.

Найти: меньшую высоту треугольника.

Решение:

Сначала найдем площадь треугольника, используя формулу Герона: $$S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр треугольника.

Вычислим полупериметр: $$p = rac{a+b+c}{2} = rac{24 + 25 + 7}{2} = rac{56}{2} = 28 ext{ см}$$.

Теперь найдем площадь: $$S = sqrt{28(28-24)(28-25)(28-7)} = sqrt{28 cdot 4 cdot 3 cdot 21} = sqrt{7 cdot 4 cdot 4 cdot 3 cdot 7 cdot 3} = sqrt{4^2 cdot 3^2 cdot 7^2} = 4 cdot 3 cdot 7 = 84 ext{ см}^2$$.

Меньшая высота будет проведена к большей стороне. В данном случае, большая сторона равна 25 см.

Используем формулу площади треугольника: $$S = rac{1}{2} cdot h cdot b$$, где $$h$$ - высота, проведенная к стороне $$b$$.

Выразим высоту: $$h = rac{2S}{b} = rac{2 cdot 84}{25} = rac{168}{25} = 6.72 ext{ см}$$.

Ответ: Меньшая высота треугольника равна 6.72 см.

---

б) Дано: треугольник со сторонами $$a = 15 ext{ см}$$, $$b = 17 ext{ см}$$, $$c = 8 ext{ см}$$.

Найти: меньшую высоту треугольника.

Решение:

Сначала найдем площадь треугольника, используя формулу Герона: $$S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр треугольника.

Вычислим полупериметр: $$p = rac{a+b+c}{2} = rac{15 + 17 + 8}{2} = rac{40}{2} = 20 ext{ см}$$.

Теперь найдем площадь: $$S = sqrt{20(20-15)(20-17)(20-8)} = sqrt{20 cdot 5 cdot 3 cdot 12} = sqrt{4 cdot 5 cdot 5 cdot 3 cdot 4 cdot 3} = sqrt{4^2 cdot 5^2 cdot 3^2} = 4 cdot 5 cdot 3 = 60 ext{ см}^2$$.

Меньшая высота будет проведена к большей стороне. В данном случае, большая сторона равна 17 см.

Используем формулу площади треугольника: $$S = rac{1}{2} cdot h cdot b$$, где $$h$$ - высота, проведенная к стороне $$b$$.

Выразим высоту: $$h = rac{2S}{b} = rac{2 cdot 60}{17} = rac{120}{17} approx 7.06 ext{ см}$$.

Ответ: Меньшая высота треугольника равна $$ \approx 7.06$$ см.