388 Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного тре- УГАЛЬНИка, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведен- ная к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°: в) треугольник пря- МОУГОЛЬный и высота, проведенная к гипотенузе, равна 7 см.

а) В равнобедренном треугольнике основание равно 12 см, а высота, проведенная к основанию, равна 8 см. Найдем боковую сторону и площадь.

Боковая сторона: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания (6 см), высотой (8 см) и боковой стороной. По теореме Пифагора:$$b = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Площадь: $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$$

б) В равнобедренном треугольнике основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°. Найдем боковую сторону и площадь.

Углы при основании равны: $$\frac{180° - 120°}{2} = 30°$$

Высота, проведенная к основанию, делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Половина основания равна 9 см. Тогда боковая сторона $$b = \frac{9}{\cos 30°} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \text{ см}$$.

Высота: $$h = b \sin 30° = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см}$$

Площадь: $$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \approx 46,77 \text{ см}^2$$

в) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 7 см. Так как это прямоугольный треугольник, то боковые стороны являются катетами, и их нужно найти.

Пусть катеты a и b, гипотенуза c. Тогда площадь равна: $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$$, где h - высота, проведенная к гипотенузе, т.е. $$ab = ch$$.

Выразим гипотенузу c через катеты a и b: $$c = \sqrt{a^2+b^2}$$. Тогда $$ab = 7\sqrt{a^2+b^2}$$

Недостаточно данных для однозначного определения a и b.

Если предположить, что треугольник равнобедренный, то $$a=b$$. Тогда $$a^2 = 7\sqrt{2a^2} = 7a\sqrt{2}$$, откуда $$a = 7\sqrt{2}$$

Стороны равны: $$a = b = 7\sqrt{2} \text{ см}$$, $$c = 14 \text{ см}$$. Площадь: $$S = \frac{1}{2} \cdot 7\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{2} = 49 \text{ см}^2$$

Ответ: a) 10 см, 48 см^2; б) $$6\sqrt{3}$$ см, $$27\sqrt{3}$$ см^2; в) Если равнобедренный: $$7\sqrt{2}$$ см, 49 см^2