595 Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма ра- вен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

В параллелограмме одна из диагоналей является его высотой. Периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см. Найдем диагональ, являющуюся высотой.

Пусть стороны параллелограмма a и b. Тогда P = 2(a + b) = 50, a - b = 1. Отсюда a + b = 25, a = b + 1. Подставляем: (b + 1) + b = 25 2b + 1 = 25 2b = 24 b = 12, a = 13

Так как диагональ является высотой, то параллелограмм — прямоугольник. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой (диагональю), стороной b и стороной a. Высота образует прямой угол со стороной a. По теореме Пифагора:

Высота (диагональ): $$h = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$

Ответ: 5 см