594 Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне АВ, причём AD = ВС. Найдите АС, если АВ = 3, а CD = √3.

В треугольнике ABC основание D высоты CD лежит на стороне AB, AD = BC. Найти AC, если AB = 3, CD = √3.

Пусть AD = x, тогда BC = x. BD = AB - AD = 3 - x

В прямоугольном треугольнике ADC: $$AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + (\sqrt{3})^2 = x^2 + 3$$

В прямоугольном треугольнике BDC: $$BC^2 = BD^2 + CD^2$$ $$x^2 = (3-x)^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 - 6x + x^2 + 3$$ $$0 = 12 - 6x$$ $$6x = 12$$ $$x = 2$$

AD = 2, BC = 2

$$AC^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$$ $$AC = \sqrt{7}$$

Ответ: $$\sqrt{7}$$