1047 Окружность задана уравнением (х+5)² + (y - 1)² = 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек A(-2; 4), В (-5;-3), С(-7; -2) и D (1; 5) лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

Для определения положения точки относительно окружности, заданной уравнением $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$, где $$(a, b)$$ - центр окружности, $$R$$ - радиус окружности, нужно подставить координаты точки в уравнение и сравнить результат с $$R^2$$.

Если $$(x-a)^2 + (y-b)^2 < R^2$$, то точка лежит внутри окружности.

Если $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$, то точка лежит на окружности.

Если $$(x-a)^2 + (y-b)^2 > R^2$$, то точка лежит вне окружности.

В данном случае уравнение окружности $$(x+5)^2 + (y-1)^2 = 16$$, следовательно, центр окружности $$(-5, 1)$$, радиус $$R = 4$$, $$R^2 = 16$$.

а) Проверим, какие из точек лежат внутри круга:

1. Для точки A(-2; 4): $$(−2+5)^2 + (4−1)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 > 16$$
2. Для точки B(-5; -3): $$(−5+5)^2 + (−3−1)^2 = 0^2 + (−4)^2 = 0 + 16 = 16 = 16$$
3. Для точки C(-7; -2): $$(−7+5)^2 + (−2−1)^2 = (−2)^2 + (−3)^2 = 4 + 9 = 13 < 16$$
4. Для точки D(1; 5): $$(1+5)^2 + (5−1)^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 > 16$$

Точка С(-7; -2) лежит внутри круга.

б) Проверим, какие из точек лежат на окружности:

1. Для точки A(-2; 4): $$(−2+5)^2 + (4−1)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 > 16$$
2. Для точки B(-5; -3): $$(−5+5)^2 + (−3−1)^2 = 0^2 + (−4)^2 = 0 + 16 = 16 = 16$$
3. Для точки C(-7; -2): $$(−7+5)^2 + (−2−1)^2 = (−2)^2 + (−3)^2 = 4 + 9 = 13 < 16$$
4. Для точки D(1; 5): $$(1+5)^2 + (5−1)^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 > 16$$

Точка В(-5; -3) лежит на окружности.

в) Проверим, какие из точек лежат вне круга:

1. Для точки A(-2; 4): $$(−2+5)^2 + (4−1)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 > 16$$
2. Для точки B(-5; -3): $$(−5+5)^2 + (−3−1)^2 = 0^2 + (−4)^2 = 0 + 16 = 16 = 16$$
3. Для точки C(-7; -2): $$(−7+5)^2 + (−2−1)^2 = (−2)^2 + (−3)^2 = 4 + 9 = 13 < 16$$
4. Для точки D(1; 5): $$(1+5)^2 + (5−1)^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 > 16$$

Точки A(-2; 4) и D(1; 5) лежат вне круга.

Ответ: а) C(-7; -2); б) B(-5; -3); в) A(-2; 4), D(1; 5)