1055 Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: a) M (-3; 5), N (7; -3); б) M (2; −1), N (4; 3).

Выполним задание, применяя знания школьной программы по геометрии.

а) Даны точки M(-3; 5) и N(7; -3).

1. Найдем координаты центра окружности O(x₀; y₀) как середины отрезка MN:

• $$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
• $$y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

O(2; 1)

2. Найдем радиус окружности как половину длины отрезка MN:

• $$R = \frac{1}{2} \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(7 - (-3))^2 + (-3 - 5)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{10^2 + (-8)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{100 + 64} = \frac{1}{2} \sqrt{164} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{41} = \sqrt{41}$$

3. Запишем уравнение окружности с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = √41:

• $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$$
• $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{41})^2$$
• $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$$

б) Даны точки M(2; -1) и N(4; 3).

1. Найдем координаты центра окружности O(x₀; y₀) как середины отрезка MN:

• $$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
• $$y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

O(3; 1)

2. Найдем радиус окружности как половину длины отрезка MN:

• $$R = \frac{1}{2} \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2^2 + 4^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 16} = \frac{1}{2} \sqrt{20} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$$

3. Запишем уравнение окружности с центром в точке O(3; 1) и радиусом R = √5:

• $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$$
• $$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2$$
• $$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$$

Ответ: а) $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$$, б) $$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$$