16. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 7,5, а AB = 2. Ответ: 8.

Пусть О - центр окружности, лежащий на стороне АС. Т.к. окружность касается прямой АВ в точке В, то ОВ ⊥ АВ.

Пусть АС = х, тогда АО = х - 7,5/2 = х - 3,75.

В прямоугольном треугольнике АВО:

$$AO^2 = AB^2 + BO^2$$

$$(x - 3,75)^2 = 2^2 + (3,75)^2$$

$$x^2 - 7,5x + 14,0625 = 4 + 14,0625$$

$$x^2 - 7,5x - 4 = 0$$

$$D = (-7,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 56,25 + 16 = 72,25$$

$$x_1 = \frac{7,5 + \sqrt{72,25}}{2} = \frac{7,5 + 8,5}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{7,5 - \sqrt{72,25}}{2} = \frac{7,5 - 8,5}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5$$ - не подходит, т.к. длина не может быть отрицательной.

Ответ: 8.